Question

（08年山西大學(xué)附中五模理） 已知函數(shù)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解析：．

令

x	(0,1)	1	(1,+
	+	0	－
g(x)		極大值0

根據(jù)此表可知，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)的最大值為0.            

當(dāng)x>0時(shí)，都有g(shù)(x)≤0,即lnx≤x-1.         

(2)解法一：

①  當(dāng)k<0時(shí), ,∴h(x)在(0,+上是減函數(shù)；

又當(dāng)x>0且x趨近于零時(shí),h(x)>0.

∴此時(shí)h(x)=0在上有解．       

②當(dāng)k>0時(shí), 令得 x=(∵x>0)

x
	－	0	+
h(x)		極小值

根據(jù)此表,當(dāng)x=,h(x)的最小值為，

依題意，當(dāng)≤0，即時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=在上

有解，

綜上：k<0或.

解法二：當(dāng)x>0時(shí)，lnx=等價(jià)于 

令F(x)= 則，

令得.

x
	+	0	－
F(x)		極小值

根據(jù)此表可知, 當(dāng)x=時(shí),F(x)的最大為.

又當(dāng)x>0且x趨近于零時(shí),F(x)趨向于負(fù)無(wú)窮大．

依題意，當(dāng)，即k<0或,時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 實(shí)數(shù)k的取值范圍為k<0或.