Question

已知實數x，y滿足y=x²-2x+2（-1≤x≤1），則

y+3

x+2

的最大值與最小值的和為

28

3

．

Answer 1

分析：先將函數化簡，再利用換元法，進而可確定函數在定義域內為單調減函數，從而可求函數的最大值與最小值，故可得結論．

解答：解：∵y=x²-2x+2
∴

y+3

x+2

=

x2-2x+5

x+2

令x+2=t（1≤t≤3），則x=t-2
∴

y+3

x+2

=

t2-6t+13

t

=t+

13

t

-6
設f(t)=t+

13

t

-6，f′（t）=1-

13

t2

∴函數在[1，3]上，f′（t）＜0，函數為減函數
∴t=1時，函數取得最大值f（1）=8；t=3時，函數取得最小值f（3）=

4

3

∴

y+3

x+2

的最大值與最小值的和為

28

3

故答案為：

28

3

點評：本題重點考查函數的最值，考查函數的單調性，考查換元法的使用，有一定的綜合性．