Question

已知：函數f(x)=

2

(sinx-cosx)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函數f（x）的圖象過點(α，

6

5

)，

π

4

＜α＜

3π

4

．求f(

π

4

+α)的值．

Answer 1

（1）f(x)=

2

(sinx-cosx)=2(sinx•

2

2

-cosx•

2

2

)=2sin(x-

π

4

)---（3分）
∴函數的最小正周期為2π，值域為{y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依題意得：2sin(α-

π

4

)=

6

5

，sin(α-

π

4

)=

3

5

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

f(

π

4

+α)=2sin[(α-

π

4

)+

π

4

]
∵sin[(α-

π

4

)+

π

4

]=sin(α-

π

4

)cos

π

4

+cos(α-

π

4

)sin

π

4

=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

解法2：依題意得：sin(α-

π

4

)=

3

5

，得sinα-cosα=

3 2

5

----①
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

由cos(α-

π

4

)=

4

5

得sinα+cosα=

4 2

5

-----------②
①+②得2sinα=

7 2

5

，∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

解法3：由sin(α-

π

4

)=

3

5

得sinα-cosα=

3 2

5

，
兩邊平方得，1-sin2α=

18

25

，sin2α=

7

25

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴

π

2

＜2α＜

3π

2

由sin2α=

7

25

＞0知

π

2

＜2α＜π
∴cos2α=-

1-sin22α

=-

24

25

，由cos2α=1-2sin²α，得sin2α=

1-cos2α

2

=

49

50

∴sinα=

7 2

10

∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

．