Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與雙曲線x²-y²=1有共同的焦點F₁、F₂，設它們在第一象限的交點為P，且PF₁⊥PF₂
（1）求橢圓的方程；
（2）已知N（0，-1），對于（1）中的橢圓，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，與橢圓交于不同的兩點A、B，點Q滿足

AQ

=

QB

，且

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）焦點F₁、F₂的坐標分別為（-

2

，0）、（

2

，0），由雙曲線和橢圓的定義，解得

|PF1| =a+1 |PF2| =a-1

．由PF₁⊥PF₂，知(a-1)2+(a+1)2=(2

2

)2，解得a²=3．由此能求出橢圓的方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+t，由方程組

x2+3y2=3 y=kx+t

，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，由直線l與橢圓交于不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知t²＜1+3k²，x1+x2=-

6kt

1+3k2

，由

AQ

=

QB

和

NQ

•

AB

=0，能求出直線l在y軸上的截距t的取值范圍．

解答：解：（1）焦點F₁、F₂的坐標分別為（-

2

，0）、（

2

，0），
由雙曲線和橢圓的定義，得

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2| =2a

，
解得

|PF1| =a+1 |PF2| =a-1

．（2分）
∵PF₁⊥PF₂，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 ，
即(a-1)2+(a+1)2=(2

2

)2，解得a²=3．（4分）
從而b2=a2-(

2

)2=1，
故橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．（6分）
（2）設直線l的方程為y=kx+t，
由方程組

x2+3y2=3 y=kx+t

，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
直線l與橢圓交于不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①（8分）
則x1+x2=-

6kt

1+3k2

，
由

AQ

=

QB

，得Q為線段AB的中點，
則x_Q=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y_Q=kx_Q+t=

t

1+3k2

，
∵

NQ

•

AB

=0，k_NQ•k_AB=-1，N（0，-1），
即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1  化簡得1+3k²=2t，（10分）
代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2，（11分）
又由2t-1+3k²＞1，得t＞

1

2

，
所以，直線l在y軸上的截距t的取值范圍是（

1

2

，2）．（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是圓錐曲線的知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線、橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．