Question

如圖，將一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：平面BAD⊥平面CAD；  
（2）求BD與平面CAD所成的角；
（3）若CD=2，求C到平面BAD的距離．

Answer 1

分析：（1）證明面ABD⊥面ACD，只需要證明AB⊥面ACD，根據面面垂直的性質，可得線面垂直，從而得證；
（2）根據AB⊥面ACD，可得∠ADB為BD與面CAD所成角．設BC=1，則AB=

2

2

， BD=

BC

cos30°

=

2 3

3

，故可求；
（3）根據面ACD⊥面ABD，過C點作AD的垂線CH，即CH⊥面ABD，則CH為所求．

解答：（1）證明：∵面ABC⊥面BCD，CD⊥BC，CD?面BCD
∴CD⊥面ABC
∵AB?面ABC
∴CD⊥AB
又∵AB⊥AC，AC∩CD=C
∴AB⊥面ACD
∵AB?面ABD
∴面ABD⊥面ACD
（2）解：∵AB⊥面ACD
∴∠ADB為BD與面CAD所成角．
設BC=1，則AB=

2

2

， BD=

BC

cos30°

=

2 3

3

∴sin∠ADB=

AB

BD

=

2 2

2 3 3

=

6

4

．
∴BD與平面CAD所成的角為arcsin

6

4

．
（3）∵面ACD⊥面ABD
∴過C點作AD的垂線CH，垂足為H，則CH⊥面ABD．
∴CH為C到平面BAD的距離．
∵CD=2
∴BC=2

6

 AC=

6

．
∴CH=

2 6

4+6

=

2 15

5

．

點評：本題以面面垂直為載體，考查面面垂直的性質與判定，考查線面角，考查點面距離，解題的關鍵是正確理解面面垂直的性質與判定．