Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P(3，

2

)，且與x軸交于點F（2，0）．
（I）求直線l的方程；（II）如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（I）由于直線l經過點P(3，

2

)和F（2，0）根據直線方程的兩點式可求．
（II）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)由焦點為F（2，0），則a²-b²=4又點P(3，

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，則

9

a2

+

2

b2

=1，聯立方程可求a，b進而可求橢圓的方程．

解答：解：（I）由于直線l經過點P(3，

2

)和F（2，0），
則根據兩點式得，所求直線l的方程為

y-0

2 -0

=

x-2

3-2

．…（3分）
即y=

2

(x-2)．
從而直線l的方程是y=

2

(x-2)．…（7分）
（II）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)…（8分）
由于一個焦點為F（2，0），則c=2，即a²-b²=4①…（10分）
又點P(3，

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，
則

9

a2

+

2

b2

=1②…（12分）
由①②解得a²=12，b²=8．
所以所求橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

8

=1…（14分）

點評：本題主要考查了直線方程的兩點式的應用，及利用橢圓的性質求解橢圓的方程，屬于一般的性質應用及基本計算型的試題．