Question

設T_n為數列{a_n}的前n項之積，滿足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）設，證明數列{b_n}是等差數列，并求b_n和a_n；
（2）設S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求證：a_n+1-＜S_n≤a_n-．

Answer 1

解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）．，∴，∴
∵，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴，∴，∴數列{b_n}是以2為首項，以1為公差的等差數列，∴b_n=n+1，∴，∴
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=
∴
當n≥2時，=
當n=1時，
∴S_n≤a_n-，∴a_n+1-＜S_n≤a_n-．
分析：（1）首先利用數列{a_n}的前n項積T_n與通項之間的關系分類討論寫出相鄰項滿足的關系式，然后兩式作商，再利用，利用作差法即可獲得數列{b_n}是等差數列．由此可以求的數列{b_n}的通項公式，進而求得Tn然后求得數列{a_n}的通項公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=，再進行放縮可證．
點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了構造思想、放縮法解決不等式的證問題．