Question

17、函數f（x）=x³-3ax²+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（1）求a、b的值；
（2）方程f（x）=c有三個不同的實數解，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數在切點處的導數值是曲線的斜率及切點在曲線上，令f′（1）=-12，f（1）=-11，列出方程求出a，b的值．
（2）將a，b的代入f（x），通過導函數求f（x）的單調性及極值，結合其圖象，求出c的范圍．

解答：解：（1）f（x）=x³-3ax²+3bx，f'（x）=3x²-6ax+3b，f'（1）=3-6a+3b=-12，f（1）=1-3a+3b=-11，
∴a=1，b=-3．
（2）f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
當x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，3），f'（x）＜0；
x∈（3，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取極大值5，在x=3時取極小值-27．
f（x）的大致圖象如下
根據三次函數f（x）的圖象得f（x）=c有三個不同的實數解時，c的取值范圍是（-27，5）．

點評：本題考查導數的幾何意義：在切點處的導數值是曲線的切線的斜率、考查利用導數求函數的單調性與極值同時利用函數的性質畫出函數的草圖、考查數形結合的數學思想方法．