Question

用α，β，γ三個字母組成一個長度為n+1（n∈N*）個字母的字符串，要求由α開始，相鄰兩個字母不同．例如n=1時，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2時排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如圖）．若記這種n+1個字符串中，排在最后一個的字母仍是α的所有字符串的種數為a_n，可知，a₁=0，a₂=2；則a₄=

 

；數列{a_n}的前2n項之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=

 

．

Answer 1

分析：將遞推公式為a_n+1=pa_n+qⁿ的數列轉化

an+1

qn+1

=

p

q

an

qn

+

1

q

，在轉化成a_n+1-t=s（a_n-t），再利用換元法轉化為等比數列求解．

解答：解：由樹形圖得a_n+1=2ⁿ-a_n
∴

an+1

2n+1

=-

1

2

•

an

2n

+

1

2

∴

an+1

2n+1

-

1

3

=-

1

2

•（

an

2n

-

1

3

）
∴

an

2n

-

1

3

=（-

1

3

）•(-

1

2

)n-1
∴an=

1

3

•2n-

2

3

•(-1)n-1
∴數列{a_n}的前2n項之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=

1

3

(2+22+23+…+22n)-

2

3

(1-1+1-1+…+1-1)
=

1

3

(2+22+23+…+22n)=

2

3

(22n-1)=

2(4n-1)

3

故答案為：

2(4n-1)

3

點評：利用待定系數法，構造等差等比數列求通項．