Question

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ) 求證：為奇函數(shù)的充要條件是；

(Ⅱ) 設(shè)常數(shù)，且對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）當(dāng)的取值范圍是；當(dāng)的取值范圍是

解析:

（I）充分性：若

，對一切x∈R恒成立，

是奇函數(shù)

必要性：若是奇函數(shù)，則對一切x∈R，恒成立，即

令 

再令 

（II）取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，

故考慮

對（1）式，由b < 0時，在為增函數(shù)，

                       （3）

對（2）式，當(dāng)

當(dāng)

                     （4）

由（3）、（4），要使a存在，必須有

∴當(dāng) 

當(dāng)為減函數(shù)，（證明略）

綜上所述，當(dāng)的取值范圍是；

當(dāng)的取值范圍是

解法二：

由于b是負(fù)數(shù)，故

（1），

則

其中（1），（3）顯然成立，由（2），得（*）

（2），

①

綜合（*），得值不存在

②

綜合（*），得 

③

綜合（*），得不存在

綜上，得