Question

直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在直線，若A（-4，2），B（3，1）
（1）求點A關于y=2x對稱點E的坐標；
（2）求點C的坐標；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點A關于y=2x對稱點E的坐標為E（a，b），則y=2x是線段AE的垂直平分線，由此能求出點E坐標．
（2）設C（x，2x）由直線y=2x是三角形ABC中∠C的平分線所在直線，知=，由此能求出C點坐標．
（3）由A（-4，2），B（3，1），C（2，4），利用斜率公式能得到△ABC是以∠C為直角的直角三角形，再用平面向量公式分別求出|AC|和|BC|，由此能求出△ABC的面積．
解答：解：（1）設點A關于y=2x對稱點E的坐標為E（a，b），
則y=2x是線段AE的垂直平分線，
∵A（-4，2），
∴設直線AB的方程為：y-2=-（x+4），即x+2y=0，
解方程組，得AE的中點坐標為（0，0），
∴，解得a=4，b=-2，∴E（4，-2）．
（2）設C（x，2x）
∵直線y=2x是三角形ABC中∠C的平分線所在直線，
∴=，
整理，得3x²-8x+4=0，
解得x=，或x=2．
經驗證x=不能構成三角形，所以x=2，
故C點坐標為：C（2，4）．
（3）∵A（-4，2），B（3，1），C（2，4），
∴，k_BC==-3，
∴k_AC•k_BC==-1，
∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形，
∵|AC|==2，
|BC|==，
∴△ABC的面積===10．
點評：本題考查點的坐標的求法，考查三角形面積的求法，具體涉及到直線方程、中點坐標公式、點到直線的距離、兩點間距離、向量等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．