Question

已知直線y=-2上有一個動點Q,過點Q作直線l1垂直于x軸,動點P在l1上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標原點),記點P的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程.

(2)若直線l2是曲線C的一條切線,當點(0,2)到直線l2的距離最短時,求直線l2的方程.

 

Answer 1

(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=

【解析】(1)設點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,-2).

∵OP⊥OQ,∴當x=0時,P,O,Q三點共線,不符合題意,故x≠0.當x≠0時,得kOP·kOQ=-1,即·=-1,化簡得x2=2y,

∴曲線C的方程為x2=2y(x≠0).

(2)∵直線l2與曲線C相切,∴直線l2的斜率存在.

設直線l2的方程為y=kx+b,

由得x2-2kx-2b=0.

∵直線l2與曲線C相切,

∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.

點(0,2)到直線l2的距離

d==·

=(+)

≥×2

=.

當且僅當=,即k=±時,等號成立.此時b=-1.

∴直線l2的方程為x-y-1=0或x+y+1=0.