Question

已知數列{a_n}的首項a₁＝2a＋1(a是常數，且a≠－1)，
a_n＝2a_n－1＋n²－4n＋2(n≥2)，數列{b_n}的首項b₁＝a，
b_n＝a_n＋n²(n≥2)．
(1)證明：{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列；
(2)設S_n為數列{b_n}的前n項和，且{S_n}是等比數列，求實數a的值；
(3)當a>0時，求數列{a_n}的最小項．

Answer 1

（1）見解析（2）a＝－（3）當a∈時，最小項為8a－1；當a＝時，最小項為4a或8a－1；當a∈時，最小項為4a；當a＝時，最小項為4a或2a＋1；
當a∈時，最小項為2a＋1.

(1)證明：∵b_n＝a_n＋n²，∴b_n＋1＝a_n＋1＋(n＋1)²＝2a_n＋(n＋1)²－4(n＋1)＋2＋(n＋1)²＝2a_n＋2n²＝2b_n(n≥2)．
由a₁＝2a＋1，得a₂＝4a，b₂＝a₂＋4＝4a＋4，∵a≠－1，
∴b₂≠0，即{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列．
(2)解：由(1)知b_n＝
S_n＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2ⁿ，當n≥2時，
＝.
∵{S_n}是等比數列，∴ (n≥2)是常數，∴3a＋4＝0，即a＝－.
(3)解：由(1)知當n≥2時，b_n＝(4a＋4)2^n－2＝(a＋1)2ⁿ，
∴a_n＝
∴數列{a_n}為2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…
顯然最小項是前三項中的一項．
當a∈時，最小項為8a－1；當a＝時，最小項為4a或8a－1；
當a∈時，最小項為4a；當a＝時，最小項為4a或2a＋1；
當a∈時，最小項為2a＋1.