Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可知圓過(guò)點(diǎn)O（0，0）、F（-1，0），圓心M在直線x=-

1

2

上．由此可求出圓的方程．
（II）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F(xiàn)（-1，0），l：x=-2．
∵圓過(guò)點(diǎn)O、F，
∴圓心M在直線x=-

1

2

上．
設(shè)M(-

1

2

，t)，則圓半徑r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

.
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解得t=±

2

.
∴所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

.
（II）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∵線段AB的中點(diǎn)N在直線x+y=0上，
∴x0+y0=-

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

=0，
∴k=0，或k=

1

2

.
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)F不在直線x+y=0上．
∴直線AB的方程是y=0，或x-2y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．