Question

在平面直角坐標系xOy中，動點P到直線l：x＝2的距離是到點F(1,0)的距離的倍．
(1)求動點P的軌跡方程；
(2)設直線FP與(1)中曲線交于點Q，與l交于點A，分別過點P和Q作l的垂線，垂足為M，N，問：是否存在點P使得△APM的面積是△AQN面積的9倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）x²＋2y²＝2（2）存在點P為(0，±1)

(1)設點P的坐標為(x，y)．
由題意知＝|2－x|，化簡，得x²＋2y²＝2，所以動點P的軌跡方程為x²＋2y²＝2.
(2)設直線FP的方程為x＝ty＋1，點P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，因為△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y₁＝－3y₂，①
由得(t²＋2)y²＋2ty－1＝0，Δ＝4t²＋4(t²＋2)＝8>0
y₁＋y₂＝－②，y₁·y₂＝－③，由①②③得t＝－1，y₁＝1，y₂＝－或t＝1，y₁＝－1，y₂＝，所以存在點P為(0，±1)．