Question

給出下列命題：
①已知橢圓的兩個焦點為F₁，F₂，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是    ．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】分析：①分F₁M垂直于x 軸時，MF₂垂直于x 軸時，當∠F₁MF₂  為直角時，三種情況進行討論．
②利用|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，進行判斷．
③點斜式求出垂線方程，將它與漸近線方程聯立求得交點M的坐標，計算線段MO 的值．
④求出兩個圓的圓心和半徑，再求出圓心距，由兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，從而得出結論．
解答：解：∵橢圓的兩個焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），當F₁M垂直于x 軸時，這樣的點M
有2個． 當MF₂垂直于x 軸時，這樣的點M有2個．當∠F₁MF₂  為直角時，點M恰是橢圓短軸的端點（0，，2），
這樣的點M有2個，綜上，這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．
∵過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²
的方程即x²=y 知，p=，2p=，則|AB|的最小值為 ，故②不正確．
∵雙曲線C：的一個焦點為（c，0），一條漸近線的方程 y=x，
故垂線方程為 y-0=-（x-c），它與漸近線 y=x 的交點M（，），
∴MO===a，故③正確．
∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于的圓．
兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線
由2條，故④正確．
故答案為：①③④．
點評：本題考查橢圓、拋物線、雙曲線、圓的性質，兩圓的位置關系，掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵．