Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點M為PC的中點，點E為BC邊上的點，且 =λ．

（1）求證：平面ADM⊥平面PBC；
（2）是否存在實數λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值為 ？若存在，求出實數λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB中點N，連結MN，AN，

∵M是PC中點，∴MN∥BC，MN= ，

又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，

∴四邊形ADMN為平行四邊形，

∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，

∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，

∵AN平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．

（2）解：存在實數λ=1，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值為 ．

∵λ=1，∴點E為BC邊的中點，

∴DE∥AB，∴DE⊥平面PAD，

∴∠PDA為二面角P﹣DE﹣B的一個平面角，

在等腰Rt△PDA中，∠PDA= ，

∴二面角P﹣DE﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）取PB中點N，連結MN，AN，推導出四邊形ADMN為平行四邊形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥AN，AN⊥MN，由此能證明平面ADM⊥平面PBC．（2）λ=1時，點E為BC邊的中點，∠PDA為二面角P﹣DE﹣B的一個平面角，由此推導出二面角P﹣DE﹣B的余弦值為 ．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．