Question

已知集合是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在，使得成立。
（1）函數是否屬于集合？說明理由；
（2）設函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f（x）＝；（Ⅱ）a[3－，3＋]；

試題分析：（Ⅰ）當時，由有：
，即     3分
f（x）＝的定義域為，
令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，
因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；…… 6分
（Ⅱ）f（x）＝lg的定義域為Ｒ，f（1）＝lg，a>0，    ..7分
若f（x）＝ lgM，則存在xＲ使得lg＝lg＋lg，
整理得存在xＲ使得（a－2）x＋2ax＋（2a－2）＝0.      8分
（1）若a－2＝0即a＝2時，方程化為8x＋4＝0，解得x＝－，滿足條件; 10分
（2）若a－20即a時，令△≥0，    12分
解得a，      13分
綜上，a[3－，3＋]；       14分
點評：綜合題，本題以新定義函數為載體，綜合考查對數函數的性質，方程解的討論，對考生數學式子變形能力要求較高。本題較難。