Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2+bx+c（a＞0），且f（1）．

（1）求證：函數f（x）有兩個不同的零點；

（2）設x1，x2是函數f（x）的兩個不同的零點，求|x1﹣x2|的取值范圍；

（3）求證：函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．（3）證明見解析

【解析】

（1）通過計算一元二次方程的判別式可以證明出結論；

（2）利用一元二次方程的根與系數關系，可以得到|x1﹣x2|的表達式，再利用配方法求出取值范圍；

（3）根據零點存在原理，分類討論證明出結論.

（1）∵，

∴，∴，

∴，

∵a＞0，

∴△＞0恒成立，

故函數f（x）有兩個不同的零點．

（2）由x1，x2是函數f（x）的兩個不同的零點，

則x1，x2是方程f（x）＝0的兩個根．

∴，，

∴|x1﹣x2|．

∴|x1﹣x2|的取值范圍是．

（3）證明：∵f（0）＝c，f（2）＝4a+2b+c，

由（1）知：3a+2b+2c＝0，

∴f（2）＝a﹣c．

（ⅰ）當c＞0時，有f（0）＞0，又∵a＞0，

∴，

∴函數f（x）在區間（0，1）內至少有一個零點．

（ⅱ）當c≤0時，f（2）＝a﹣c＞0，f（1）＜0，

∴函數f（x）在區間（1，2）內至少有一個零點．

綜上所述，函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點．