Question

（2012•威海一模）已知函數f（x）=

1

2

x²-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（0，+∞）單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1成立．

Answer 1

分析：（I）根據求導公式和法則求出函數的導數，再求出切線的斜率，由導數的幾何意義列出方程求出a的值；
（II）對導函數進行化簡，再把條件轉化為“f′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立”，再由條件進一步轉化二次函數恒成立問題，根據二次函數的性質求解；
（III）利用分析法找思路，根據斜率公式將結論轉化為“函數f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞1”，再轉化為“在任一點處的切線斜率k＞1”，即轉化為x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，再把不等式化簡后，構造函數轉化為恒成立問題，再由條件和二次函數的性質求出函數的最小值，化簡后根據a的范圍判斷符號即可．

解答：解：（I）由題意得，f′（x）=x-a+

a+1

x

，
∵在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，
∴在點（2，f（2））處的切線的斜率是

3

2

，即f′（2）=2-a+

a+1

2

=

3

2

，
解得a=2，
（II）由（I）知，f′（x）=x-a+

a+1

x

=

x2-ax+a+1

x

，且x＞0，
∵f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
即x²-ax+a+1≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
設g（x）=x²-ax+a+1，對稱軸x=

a

2

，
則

a 2 ≤0 g(0)≥0

或

a 2 ＞0 g( a 2 )≥0

，解得-1≤a≤0或0＜a≤2+2

2

，
故a的取值范圍是-1≤a≤2+2

2

，
（III）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1”的幾何意義是函數f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞1，
即在任一點處的切線斜率k＞1，
即證當-1＜a＜3時，對x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

＞1，且x＞0，即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，
設h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且對稱軸x=

a+1

2

，
由-1＜a＜3得，0＜

a+1

2

＜2，
則h(x)min=h(

a+1

2

)=(

a+1

2

)2-(a+1)

a+1

2

+a+1=

-(a-3)(a+1)

4

，
由-1＜a＜3得，

-(a-3)(a+1)

4

＞0，
故結論得證．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，以及證明不等式轉化為恒成立問題等，考查了轉化思想和構造函數方法．