Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=sinx-cosx，求：
（1）f（x）在R上的解析式．
（2）當x＞0時，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據函數是奇函數，即可求f（x）在R上的解析式．
（2）根據三角函數的性質即可解不等式f（x）＞0．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
當x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=sinx-cosx，
∴f（-x）=-sinx-cosx，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-sinx-cosx=-f（x），
即f（x）=sinx+cosx，x＜0．
故函數的解析式為：f(x)=

sinx-cosx，x＞0 0，x=0 sinx+cosx，x＜0

，
（2）當x＞0時，不等式f（x）＞0，等價為f（x）=sinx-cosx＞0，
即sinx＞cosx，
由三角函數圖象可知2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k≥0且k∈Z．
即不等式的解集為(2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π)，k≥0且k∈Z．

點評：本題主要考查函數奇偶性的性質的應用以及不等式的解法，考查學生的運算能力．