Question

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）對稱

解析試題分析：（Ⅰ）由圓方程可知圓心為，即，又因為離心率為，可得，根據橢圓中關系式，可求。橢圓方程即可求出。因為，則右頂點為，將其代入圓的方程可求半徑。（Ⅱ）由橢圓方程可知，將代入橢圓方程可得。可得，設直線，然后和橢圓方程聯立，消掉y（或x）得到關于x的一元二次方程。再根據韋達定理得出根與系數的關系。可得兩直線的斜率。當直線是否關于直線對稱時兩直線傾斜角互補，所以斜率互為相反數。把求得的兩直線斜率相加若為0，則說明兩直線對稱。否則不對稱。
試題解析：（Ⅰ）由題意得,                      1分
由可得,                         2分
所以,                           3分
所以橢圓的方程為.                     4分
（Ⅱ）由題意可得點,                 6分
所以由題意可設直線,.            7分
設，
由得.
由題意可得,即且.        8分
.          9分
因為           10分

，          13分
所以直線關于直線對稱.                  14分
考點：橢圓的基礎知識、直線與橢圓的位置關系，考查分析問題、解決問題以及化歸與轉化的能力，考查綜合素質。