Question

有向線段

p0pn

的n等分點從左到右依次為p₁，p₂，…p_n-2，p_n-1，記

p0pi

=λi

pipn

(i=1，2，3，…n-1)，n≥2，則λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

．

Answer 1

分析：因為P_i是有向線段

p0pn

的第i個分點，可得

P0Pi

=

i

n

P0Pn

，再根據

P0Pi

=λi

PiPn

，可得

P0Pi

=

λi

λi+1

P0Pn

．所以

i

n

=

λi

λi+1

，解之得λ_i=

i

n-i

，所以λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

n-1

×

2

n-2

×

3

n-3

×…×

n-3

3

×

n-2

2

×

n-1

1

=1．

解答：解：∵P_i是有向線段

p0pn

的第i個分點，∴

P0Pi

=

i

n

P0Pn

…①
又∵

P0Pi

=λi

PiPn

，可得

P0Pi

=λi(

P0Pn

-

P0Pi

)
∴

P0Pi

=

λi

λi+1

P0Pn

…②
比較①②，可得

i

n

=

λi

λi+1

，解之得λ_i=

i

n-i

，其中i=1、2、3、…、n-1
∴λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

n-1

×

2

n-2

×

3

n-3

×…×

n-3

3

×

n-2

2

×

n-1

1

=1
故答案為：1

點評：本題給出有向線段的幾個等分點，在已知向量等式的情況下求參數的積，著重考查了平面向量基本定理及其應用，屬于中檔題．