Question

由函數y=f(x)確定數列{a_n}，a_n=f(n)，若函數y=f(x)的反函數y=f^-1(x)能確定數列{b_n}，b_n=f^-1(n)，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“反數列”。
（1）若函數f(x)=2確定數列{a_n}的反數列為{b_n}，求{b_n}的通項公式；
（2）對（1）中{b_n}，不等式對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設（λ為正整數），若數列{c_n}的反數列為{d_n}，{c_n}與{d_n}的公共項組成的數列為{t_n}， 求數列{t_n}前n項和S_n。

Answer 1

解：（1）（n為正整數），
，
所以數列的反數列的通項公式（n為正整數）。
（2） 對于（1）中，不等式化為，
，
，
 ∴數列單調遞增，
所以，，要使不等式恒成立，只要，
∵，
∴，
又，
所以，使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是。
（3）設公共項為正整數，
當λ為奇數時，，
，
則（表示是的子數列），，
所以，的前n項和；
當λ為偶數時，，
，則，同樣有，，
所以，的前n項和。