Question

如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ACBD．點(diǎn)E、F分別為大圓上的劣弧

BP

、

AC

的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①E、F兩點(diǎn)的球面距離為

2

3

π；
②向量

.

OE

在向量

.

OB

方向上的投影恰為

1

2

；
③若點(diǎn)M為大圓上的劣弧

AD

的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線EF、PC成等角的直線有無(wú)數(shù)條；
④球面上到E、F兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)；
其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為

 

．

Answer 1

分析：先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出坐標(biāo)E（0，

2

2

，

2

2

），F(xiàn)（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一驗(yàn)證即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，

2

2

，

2

2

），F(xiàn)（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=-

2

2

×

2

2

=-

1

2

∴∠EOF=

2π

3

，對(duì)；
②向量

OE

在向量

OB

方向上的投影為

2

2

，錯(cuò)；
③由于等角的值不是一定值，因此將直線EF、PC都平移到點(diǎn)M，可知過(guò)點(diǎn)M且與直線EF、PC成等角的直線有無(wú)數(shù)多條，對(duì)；
④過(guò)點(diǎn)EF的中點(diǎn)及球心O的大圓上任意點(diǎn)到點(diǎn)E、F的距離都相等，錯(cuò)；
故答案為①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球的性質(zhì)、球面距離及相關(guān)計(jì)算，解答的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)后利用空間坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算．