Question

已知，數列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常數p＞0），對任意的正整數n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n滿足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）試確定數列{a_n}是不是等差數列，若是，求出其通項公式．若不是，說明理由；
（3）令pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，是否存在正整數M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

 可得 a 的值．
（2）先求出 S_n，可得 S_n-1，根據S_n-S_n-1=a_n，化簡可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

，a_n =k（n-1），故數列{a_n}是等差數列．由a₂ =p=k•（2-1），求出 k 值，得到a_n =p（n-1）=（n-1）p．
（3）根據定義先表示出p₁+p₂+…+p_n-2n=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

，再求其上邊界即可．

解答：解：（1）由已知，得s1=

1•(a-a)

2

=a1=a，∴a=0
（2）由a₁=0得Sn=

nan

2

，則Sn+1=

(n+1)an+1

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整數，則對任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=（n-1）p．
（3）∵Sn=

n(n-1)p

2

∴pn=

(n+2)(n+1)p 2

(n+1)np 2

+

(n+1)np 2

(n+2)(n+1)p 2

=2+

2

n

-

2

n+2

∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=(2+

2

1

-

2

3

)+(2+

2

2

-

2

4

)+…+(2+

2

n

-

2

n+2

)-2n
=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

；
由n是正整數可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
故存在最小的正整數M=3，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．

點評：本題考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用．