Question

已知函數f(x)=

1

2

sin2xsinθ+cos2xcosθ-

1

2

sin(

π

2

+θ)(0＜θ＜π)，其圖象經過點（

π

6

，

1

2

）
（1）求f（θ）的值
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）=k在[0，

π

4

]上只有唯一解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接對原函數化簡整理，再把點（

π

6

，

1

2

）的坐標代入求出θ即可求f（θ）的值；
（2）先根據圖象的平移變換規律求出函數y=g（x）的解析式，再根據x的范圍畫出圖象，結合圖象即可求出實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f(x)=

1

2

sin2xsinθ+

1+cos2x

2

cosθ-

1

2

cosθ=

1

2

(sin2xsinθ+cos2xcosθ)
=

1

2

cos(2x-θ)…（3分）
由f(

π

6

)=

1

2

得cos(

π

3

-θ)=1
∴

π

3

-θ=2kπ又θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

…（5分）
∴f(θ)=

1

2

cosθ=

1

4

…（6分）
（2）因為函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，
得到函數y=g（x）=

1

2

cos（4x-

π

3

）…（8分）
當x∈[0，

π

4

]時，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
作出y=

1

2

cost在t∈[-

π

3

，

2π

3

]的圖象，
結合圖形知k=

1

2

或-

1

4

＜k＜

1

4

．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象變換以及三角函數式的整理化簡．在整理三角函數式時，要牢記公式，并會對公式熟練使用．