Question

函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）當0≤x≤

1

2

時，f（x）+3＜2x+a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f （x） 對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（2）將f（x）的解析式代入f（x）+3＜2x+a，又x∈（0，

1

2

），通過分離變量，推出a大于的函數h（x）的最大值，使a大于最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x） 對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1×（1+2×0+1）⇒f（0）=-2．
（2）令 y=0，可得  f（x）=x²+x，當0≤x≤

1

2

時，f（x）+3＜2x+a恒成立，
即x²+x+3＜2x+a，即x²-x+3＜a當0≤x≤

1

2

時，恒成立．
令h（x）=x²-x+3，對稱軸為：x=

1

2

，在0≤x≤

1

2

的最大值為：f（0）=3，
所以a＞3．
實數a的取值范圍：（3，+∞）．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，函數恒成立問題，同時考查了二次函數閉區間上的最值問題，屬于中檔題．