Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC⊥BD，且相交于點O ,E是AB邊的中點，EO的延長線交CD于F.

（1）求證：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°,求證

Answer 1

（1）先證明△AOB≌△DOC, 從而得出∠ODC=∠OAB,進而可以證明結論；
（2）先證明△DOC∽△DFO，利用面積比等于相似比的平方比即可證明.

解析試題分析：（1）∵ △AOB為直角三角形，且E 為AB邊的中點，
∴EO="EA=EB," ∴∠EAO=∠EOA, ∠EOB=∠EBO，
又△AOB≌△DOC, ∴∠ODC=∠OAB,
∠EOB=∠DOF(對頂角)，∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
(2)∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，
∴在Rt△DOF中，DF=OD，△DOC∽△DFO,
所以根據面積比等于相似比的平方比，知
考點：本小題主要考查兩條直線垂直、三角形相似等的證明.
點評：在利用相似三角形解答時，注意通過對應邊找對應角，通過對應角找對應邊，不要找錯了。