Question

已知實系數方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的兩個實數根分別是x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，則u=

m2+n2

mn

的取值范圍是（　　）

• A．(-

  5

  2

  ，-2]
• B．（-∞，-2]
• C．(-

  5

  2

  ，-2)
• D．(-

  5

  2

  ，0)

Answer 1

分析：首先根據所給的一元二次方程的根的范圍，表示出m，n之間的關系，得到不等式組，畫出可行域，求出

n

m

的范圍，做出它的倒數的范圍，根據基本不等式表示出最大值，得到結果．

解答：解：令f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
由題意0＜x₁＜1，x₂＞1，知，

f(0)＞0 f(1)＜0

即

m+n+1＞0 2m+n+3＜0

不等式組表示區域如圖陰影部分．

n

m

表示點P（m，n）與原點連線的斜率．
∴-2＜

n

m

＜-

1

2

，
-2＜

m

n

＜-

1

2

，
∵

m

n

與

n

m

的符號是負數，得到根據基本不等式知

m

n

+

n

m

≤-2
∵

m

n

與

n

m

取得最值的時候正好相反，即一個取得最大值時，另一個取得最小值，
∵u=

m2+n2

mn

=

n

m

+

m

n

∈(-

5

2

，-2]
故選A．

點評：本題考查線性規劃的應用，考查基本不等式求最值，考查一元二次方程的根與系數的關系，本題解題的關鍵是對所給的代數式變形整理，再根據線性規劃得到要用的范圍，本題是一個中檔題目．