Question

（2013•青浦區一模）我們把定義在R上，且滿足f（x+T）=af（x）（其中常數a，T滿足a≠1，a≠0，T≠0）的函數叫做似周期函數．
（1）若某個似周期函數y=f（x）滿足T=1且圖象關于直線x=1對稱．求證：函數f（x）是偶函數；
（2）當T=1，a=2時，某個似周期函數在0≤x＜1時的解析式為f（x）=x（1-x），求函數y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）對于確定的T＞0且0＜x≤T時，f（x）=3^x，試研究似周期函數函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是否可能是單調函數？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數的對稱性與滿足性質f（x+T）=af（x），根據偶函數的定義證明即可；
（2）利用函數為似周期函數的性質求解即可；
（3）利用分類討論思想，分析函數為單調函數的條件求解．

解答：解：（1）∵x∈R關于原點對稱，
又函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（1-x）=f（1+x）①
又T=1，∴f（x+1）=af（x），②，
用-x代替x得f（-x+1）=af（-x），③
由①②③可知af（x）=af（-x），∵a≠1且a≠0，∴f（x）=f（-x）．即函數f（x）是偶函數；
（2）當n≤x＜n+1（n∈Z）時，0≤x-n＜1（n∈Z）f（x）=2f（x-1）=2²f（x-2）=…=2ⁿf（x-n）=2ⁿ（x-n）（n+1-x）；
（3）當nT＜x≤（n+1）T（n∈N）時，0＜x-nT≤T（n∈N）f（x）=af（x-T）=a²f（x-2T）=…=aⁿf（x-nT）=aⁿ3^x-nT
顯然a＜0時，函數y=f（x）在區間（0，+∞）上不是單調函數，
又a＞0時，f（x）=aⁿ3^x-nT，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N是增函數，
此時f（x）∈（aⁿ，aⁿ3^T]，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N，
若函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是單調函數，那么它必須是增函數，則必有aⁿ⁺¹≥aⁿ3^T，
解得a≥3^T．

點評：本題考查函數的周期性、函數的奇偶性、單調性的判斷與證明．