Question

已知向量u＝(x，y)與向量v＝(y，2y－x)的對應關系可用v＝f(u)表示．

(1)求證：對于任意向量a、b及常數m、n，f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)恒成立；

(2)設a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)、f(b)的坐標；

(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數)的向量c的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)，則ma＋nb＝(ma₁＋nb₁，ma₂＋nb₂)．

　　∴f(ma＋nb)＝(ma₂＋nb₂，2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)，

　　mf(a)＋nf(b)＝m(a₂，2a₂－a₁)＋n(b₂，2b₂－b₁)

　　＝(ma₂＋nb₂，2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)．

　　∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)恒成立．

　　(2)f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．

　　(3)設c＝(x，y)，則f(c)＝(y，2y－x)＝(p，q)．

　　∴y＝p，2y－x＝q．∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．

　　思路分析：本題用到向量的坐標表示，向量的加法、減法、實數與向量的積的坐標運算等知識，代入相應的公式運算即可．

提示：

本題是向量的坐標運算與函數知識相結合的問題，題目的難度并不大，主要考查向量的坐標運算和函數的基礎知識，但卻充分體現了坐標運算的代數性．為運用題設條件，必須將向量用坐標表示，通過坐標進行計算，從而解決問題．