Question

【題目】如圖，一個角形海灣AOB，∠AOB=2θ（常數θ為銳角）．擬用長度為l（l為常數）的圍網圍成一個養殖區，有以下兩種方案可供選擇：
方案一 如圖1，圍成扇形養殖區OPQ，其中 =l；
方案二 如圖2，圍成三角形養殖區OCD，其中CD=l；

（1）求方案一中養殖區的面積S1；
（2）求證：方案二中養殖區的最大面積S2= ；
（3）為使養殖區的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：方案一：設此扇形所在的圓的半徑為r，則l=r2θ，∴r= ．

∴S1= =

（2）證明：設OC=x，OD=y，

則l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，

可得：xy≤ ，當且僅當x=y時取等號．

∴養殖區的最大面積S2= ×sin2θ=

（3）解： = ，

令f（θ）=tanθ﹣θ，則f′（θ）=sec2θ﹣1=tan2θ＞0，

∴f（θ）在 上單調遞增．令tanθ0=θ0∈ ．

當θ∈ 時，選取方案一；

當θ=θ0時，選取方案一或二都可以；

當θ∈（0，θ0）時，選取方案二

【解析】（1）方案一：設此扇形所在的圓的半徑為r，則l=r2θ，可得r= ．利用扇形面積計算公式可得S1 ． （2）設OC=x，OD=y，利用余弦定理與基本不等式的性質可得：l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，可得：xy≤ ，即可得出．（3） = ，令f（θ）=tanθ﹣θ，求導，可得f（θ）在 上單調遞增．令tanθ0=θ0∈ ．對θ與θ0的大小關系分類討論即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用扇形面積公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．