Question

若定義在區間D上的函數y=f(x)對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式［f(x₁)+f(x₂)］≤f()成立,則稱函數y=f(x)為區間D上的凸函數;

(1)證明定義在R上的二次函數f(x)=ax²+bx+c(a＜0)是凸函數;

(2)對于(1)中的二次函數f(x)=ax²+bx+c(a＜0),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值時函數y=f(x)的解析式.

Answer 1

思路解析：本題是閱讀理解題目,根據題意對凸函數的定義進行變形證明,在求函數解析式是要想辦法用f(1)、f(2)和f(3)表示f(4),從而求出f(4)的最大值,這樣把不等關系轉化為相等關系求出待定系數.

證明：(1)任取x₁,x₂∈R,則

2f()-［f(x₁)+f(x₂)］

=2［a()²+b+c］-［ax₁²+bx₁+c］-［ax₂²+bx₂+c］

=［(x₁+x₂)²-2(x₁²+x₂²)］=-(x₁-x₂)².

∵a＜0,

∴2f()-［f(x₁)+f(x₂)］≥0.

∴［f(x₁)+f(x₂)］≤f().

∴由定義得y=f(x)是R上的凸函數.

(2)∵

又∵|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|.

又∵|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3.

∴|f(4)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|≤16.

∴當且僅當時取等號,代入上式得

∴f(x)=-4x²+15x-12.