Question

(10分) 已知數列{a_n}的前n項和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．
(1)求a₁和a_n；
(2)記b_n＝|a_n|，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

(1) a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．(2) T_n＝

本題考查數列前n項和與通項公式的應用，考查轉化思想與計算能力
由S_n=10n-n²知S_n是關于n的無常數項的二次函數（n∈N^*），可知{a_n}為等差數列，求出a_n，然后再判斷哪些項為正，哪些項為負，然后求解T_n．
(1)∵S_n＝10n－n²，∴a₁＝S₁＝10－1＝9.
∵S_n＝10n－n²，當n≥2，n∈N^*時，
S_n－1＝10(n－1)－(n－1)²＝10n－n²＋2n－11，
∴a_n＝S_n－S_n－1＝(10n－n²)－(10n－n²＋2n－11)
＝－2n＋11.
又n＝1時，a₁＝9＝－2×1＋11，符合上式．
則數列{a_n}的通項公式為a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．
(2)∵a_n＝－2n＋11，∴b_n＝|a_n|＝
設數列{b_n}的前n項和為T_n，
n≤5時，T_n＝＝10n－n²；
n>5時T_n＝T₅＋＝25＋＝25＋(n－5)²＝n²－10n＋50，
∴數列{b_n}的前n項和T_n＝