Question

（Ⅰ）（20分）在復數范圍內解方程(i為虛數單位)

   （Ⅱ）設z是虛數，ω=z+是實數，且－1＜ω＜2

（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；（10分）

（2）設u=，求證：u為純虛數；（5分）

（3）求ω－u²的最小值,（5分）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）原方程化簡為,

   設z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi=1-i,

   ∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

   ∴原方程的解是z=-±i.

（Ⅱ）（1）設z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，

則ω=a+bi+=(a+)+(b－)i

∵ω是實數，∴,又∵b≠0，∴a²+b²=1，即|z|=1

∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的實部的取值范圍是(－，1)

（2）證明：u====

 由（1）知a²+b²=1,∴u=－I,又∵a∈(－，1)，b≠0，

∴u為純虛數

（3）解：ω－u²=2a+=2a+=2a－

=2a－1+=2［(a+1)+］－3

∵a∈(－，1)，∴a+1＞0,

∴(a+1)+ ≥2(當a+1=，即a=0時，上式取等號.)

∴ω－u²≥2×2－3=1,∴ω－u²的最小值為1.   

【解析】略