Question

已知f（x）是定義在實數集R上的不恒為0的函數，對任意實數x，y有f（x）f（y）=f（x+y），當x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明f（x）恒正；
（Ⅱ）判斷f（x）在實數集R上單調性；
（Ⅲ）設S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=

1

3

，a_n=f（n）（n為正整數）．令b_n=f（S_n），問數列{b_n}中是否存在最大項？若存在，求出最大項的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），利用賦值法，即可求f（0）的值，利用當x＞0時，有0＜f（x）＜1，證明f（x）恒正；
（Ⅱ）利用函數單調性的定義，結合f（x）恒正，即可得到f（x）在實數集R上單調性；
（Ⅲ）確定數列{a_n}是通項與前n項和，可得可得f（S_n）隨著n的增大而減小，從而數列{b_n}為遞減數列，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），令x＞0，y=0，則f（x）f（0）=f（x），
∵當x＞0時，有0＜f（x）＜1，∴f（0）=1．…（2分）
當x＜0時，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，
由于f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1
所以f(x)=

1

f(-x)

＞1＞0，綜上可知，f（x）恒正；…（4分）
（Ⅱ）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1
又由（1）可知f（x₁）＞0
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＜f（x₁）
故f（x）在實數集R上是減函數；…（8分）
（Ⅲ）由題意a1=

1

3

，a_n=f（n），
∴a1=f(1)=

1

3

，an+1=f(n+1)=f(n)f(1)=

1

3

f(n)=

1

3

an
∴數列{a_n}為以首項a1=

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，
∴an=(

1

3

)n，Sn=

1

2

(1-

1

3n

)…（12分）
由此可知，S_n隨著n的增大而增大，再根據（2）可得f（S_n）隨著n的增大而減小，
所以數列{b_n}為遞減數列，
從而存在最大項，其為b1=f(S1)=f(a1)=f(

1

3

)=

[

3]f3(

1

3

)=

[

3]f(1)=

[ 3]9

3

…（14分）

點評：本題考查抽象函數，考查函數單調性的判斷與證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．