Question

設函數f（x）=x²-alnx與的圖象分別交直線x=1于點A，B，且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線平行（斜率相等）．
（1）求函數f（x），g（x）的表達式；
（2）當a＞1時，求函數h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數f（x）和g（x）的導函數并求出它們在x=1的導數值，由導數值相等求出a的值則兩個函數的解析式可求；
（2）把a=2代入兩個函數解析式，求出函數h（x），求導后把導函數進行因式分解，然后由x=1對定義域分段，求出導函數在兩段內的符號，判出單調性，從而求得函數h（x）的最小值；
（3）把a=分別代入函數f（x）和g（x）的解析式，分別求出導函數后判斷各自導函數在上的符號，由導函數的符號得到原函數的單調性，進一步得到函數f（x）在上的最小值和函數g（x）在上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分離參數m后求出的最小值，則實數m的取值范圍可求．
解答：解：（1）由f（x）=x²-alnx，得，所以f^′（1）=2-a．
由，得，所以．
又由題意可得f'（1）=g'（1），
即，故a=2，或．
所以當a=2時，f（x）=x²-2lnx，；
當時，，．
（2）當a＞1時，a=2，，
函數h（x）的定義域為（0，+∞）．

=．
由x＞0，得，
故當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數h（x）在（0，+∞）上的最小值為．
（3）因為a＜1，所以，此時，，
當時，由，得，
f（x）在上為減函數，．
當時，由，得，
g（x）在上為增函數，，且．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，當時，m為任意實數；
當時，不等式f（x）≥m•g（x）化為，
而．
所以．
所以當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立的實數m的取值范圍為．
點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數求閉區間上函數的最值，訓練了利用分離變量求參數的取值范圍，考查了學生的運算能力，在分類討論時，此題對細節的分類要求較高，屬難度較大的題目．