Question

函數，其中為實常數。

（1）討論的單調性；

（2）不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，設，。是否存在實常數，既使又使對一切恒成立？若存在，試找出的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）當時，增區間為，無減區間；當時，增區間為，減區間為；（2）；（3）存在，如等，證明見詳解．

【解析】

試題分析：（1）首先求導函數，然后對參數進行分類討論的單調性；（2）根據函數的解析式可將問題轉化為的最大值，再利用導數研究函數單調性來確定其最值；（3）假設存在，將問題轉化為證明：及成立，然后可考慮綜合法與分析法進行證明．

試題解析：（1）定義域為，

①當時，，在定義域上單增；

②當時，當時，，單增；當時，，單減．

增區間：，減區間：．

綜上可知：當時，增區間，無減區間；當時，增區間：，減區間：．

（2）對任意恒成立

，令，

，在上單增，

，，故的取值范圍為．

（3）存在，如等．下面證明：

及成立．

①先證，注意，

這只要證（*）即可，

容易證明對恒成立(這里證略)，取即可得上式成立．

讓分別代入（*）式再相加即證：，

于是．

②再證，

法一：

，

只須證，構造證明函數不等式：，

令，，

當時，在上單調遞減，

又當時，恒有，即恒成立．

，取，則有，

讓分別代入上式再相加即證：

，

即證．

法二：，

，

又故不等式成立．

（注意：此題也可用數學歸納法！）．

考點：1、導數與單調性；2、分析法或綜合法；3、分類討論的思想；4、數列求和．