Question

某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其注意力指數P與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈（0，14]時，曲線是二次函數圖象的一部分，當t∈[14，40]時，曲線是函數y=log_α（x-5）+83（a＞0且a≠1）圖象的一部分．根據專家研究，當注意力指數P大于等于80時聽課效果最佳．
（1）試求P=f（t）的函數關系式；
（2）老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳？
請說明理由．

Answer 1

（1）t∈（0，14]時，設p=f（t）=c（t-12）²+82（c＜0），
將（14，81）代入得c=-

1

4

t∈（0，14]時，p=f（t）=-

1

4

（t-12）²+82（4分）
t∈（14，40]時，將（14，81）代入y=log_a（x-5）+83，得a=

1

3

（6分）
∴p=f(t)=

- 1 4 (t-12)2+82，t∈(0，14] log 1 3 (t-5)+83，t∈(14，40]

．（7分）
（2）t∈（0，14]時，-

1

4

（t-12）²+82≥80
解得12-2

2

≤t≤12+2

2

，
∴t∈[12-2

2

，14]（11分）
t∈[14，40]時，log

1

3

（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2

2

，32]，（15分）
即老師在t∈[12-2

2

，32]時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳．（16分）