Question

設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若

BP

=2

PA

，且

OQ

•

AB

=1，求P點的軌跡方程．

Answer 1

分析：通過已知條件設出A，B坐標，求出

AB

=(-

3

2

x，3y)，點P關于y軸對稱知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），利用

OQ

•

AB

=1，求出P點的軌跡方程．

解答：解：由

BP

=2

PA

及A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上知，A(

3

2

x，0)，B（0，3y），

AB

=(-

3

2

x，3y)，由點Q與點P關于y軸對稱知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），則

OQ

•

AB

=(-

3

2

x，3y)•(-x，y)=

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．
所以P點的軌跡方程為：

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．

點評：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，注意到向量的坐標的求法與向量數量積公式的應用，是本題的解題的關鍵，考查計算能力，轉化思想，易錯點是x，y的范圍．