Question

設二次函數f(x)＝(k－4)x²＋kx(k∈R)，對任意實數x，有f(x)≤6x＋2恒成立；數列{a_n}滿足a_n+1＝f(a_n)．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)試寫出一個區間(a，b)，使得當a_n∈(a，b)時，a_n+1∈(a，b)且數列{a_n}是遞增數列，并說明理由；

(3)已知a₁＝，是否存在非零整數λ，使得對任意n∈N^*，都有－1＋(－1)^n－12λ＋nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由恒成立等價于恒成立　1分 　　從而得：，化簡得，從而得， 　　所以，　3分 　　(2)解：若數列是遞增數列，則即： 　　　5分 　　又當時，， 　　所以有且，所以數列是遞增數列．　7分 　　注：本題的區間也可以是、、、………，等無窮多個． 　　(3)由(2)知，從而； 　　， 　　即；　8分 　　令，則有且； 　　從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列， 　　從而得，即， 　　所以，　10分 　　所以，所以， 　　所以， 　　．　11分 　　即，所以，恒成立 　　①當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為． 　　②當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為． 　　所以，對任意，有．又非零整數，　12分