Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a
（Ⅰ）若在x=-1處有極值，求a的值及f（x）單調區間
（Ⅱ）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知函數的解析式，我們易求出函數的導函數的解析式，根據函數在x=-1處有極值，我們易根據導函數數值此時為0，構造一個關于a的方程，解方程求出a值后，在分區間討論導函數值的符號，即可求出f（x）單調區間
（Ⅱ）使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，只須（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立結合二次函數的性質，我們即可求出滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²+（a-3）x+a²-3a
（Ⅰ）∵在x=-1處有極值，
∴f′（-1）=（-1）²+（a-3）（-1）+a²-3a=0
解得：a=2
此時f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）≥0，則x≥2或x≤-1；令f′（x）≤0，則-1≤x≤2
∴f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上單調遞增，在[-1，2]上單調遞減．
（Ⅱ）∵f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x-3）（x+a）
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立
只須（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立
令g（x）=（x-3）（x+a），則g（x）的圖象恒過點（3，0），（-a，0）且開口向上
要使得g（x）＞0的x∈[1，2]恒成立，只須-a＞2?a＜-2即可．
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²，則a的取值范圍是a∈（-∞，-2）

點評：本題考查的知識是函數在某點取得極值的條件，函數恒成立問題，及利用導數研究函數的單調性，其中根據已知函數的解析式，求出導函數的解析式，是解答本題的關鍵．