Question

（12分）（已知拋物線，過定點的直線交拋物線于A、B兩點.
（Ⅰ）分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條切線的交點在定直線上.
（Ⅱ）當時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關于直線對稱，弦長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)由，得，設
過點A的切線方程為：，即
同理求得過點B的切線方程為：
∵直線PA、PB過，∴,
∴點在直線上，∵直線AB過定點，
∴，即∴兩條切線PA、PB的交點在定直線上.
（Ⅱ）設，設直線的方程為：，
則直線的方程為：，
，
，             ①
設弦PQ的中點，則
∵弦PQ的中點在直線上，∴，
即     ②
②代入①中，得           ③

由已知，當時，弦長|PQ|中不存在最大值.
當時，這時，此時，弦長|PQ|中存在最大值，

即當時，弦長|PQ|中的最大值為略