【題目】已知函數
，
，
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）證明：函數在定義域上只有一個零點
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）首先求出函數的導函數，令
得
或
，再對
分類討論可得；
（2）由（1）函數的單調性結合零點存在性定理，分類討論計算可得；
解：（1）
，
，
令得或，易知，當
時，
；當
時，
，
①當
時，
，故
在
單調遞減；
②當
時，令
得
或
，令
得
，
故在
，
單調遞減，在
單調遞增；
③當
時，令得
或
，令得
，
故在
，
單調遞減，在
單調遞增.
綜上，當時，在單調遞減；
當時，在，單調遞減，在單調遞增；
當時，在，單調遞減，在單調遞增.
（2）由（1）知，①當時，在單調遞減；
且
，
，即
，故函數在上只有一個零點.
②當時，在，單調遞減，在單調遞增；故的極小值為
，因此在上無零點；的極大值為
，又
，
，故在上有一個零點，因此，函數在上只有一個零點.
③當時，在，單調遞減，在單調遞增.故的極小值為
，又
，
，故在上有一個零點，的極大值為
，又
，故在上無零點，因此，函數在上只有一個零點.
綜上，函數在上只有一個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】健身館某項目收費標準為每次60元，現推出會員優惠活動：具體收費標準如下：
消費次數 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 不少于4次 |
收費比例 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.80 |
現隨機抽取了100位會員統計它們的消費次數，得到數據如下：
消費次數 | 1次 | 2次 | 3次 | 不少于4次 |
頻數 | 60 | 25 | 10 | 5 |
假設該項目的成本為每次30元，根據給出的數據回答下列問題：
（1）估計1位會員至少消費兩次的概率
（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為
，現有甲，乙二人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
（Ⅰ）求袋中原有白球的個數：
（Ⅱ）求取球次數
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵
中,
.
(1)求證:四棱錐
為陽馬;
(2)若
,當鱉膈
體積最大時,求銳二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年春季，某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車，現有采購成本分別為
萬元/輛和
萬元/輛的
兩款車型，根據以往這兩種出租車車型的數據，得到兩款出租車車型使用壽命頻數表如下：
（1）填寫下表，并判斷是否有
的把握認為出租車的使用壽命年數與汽車車型有關？
（2）從
和
的車型中各隨機抽取
車，以
表示這
車中使用壽命不低于
年的車數，求的分布列和數學期望；
（3）根據公司要求，采購成本由出租公司負責，平均每輛出租車每年上交公司
萬元，其余維修和保險等費用自理.假設每輛出租車的使用壽命都是整數年，用頻率估計每輛出租車使用壽命的概率，分別以這
輛出租車所產生的平均利潤作為決策依據，如果你是該公司的負責人，會選擇采購哪款車型？
附：
，
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρsinθ＝2．
（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足
，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；
（2）曲線C2上兩點
與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（
為參數），直線
，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求直線l和曲線C的極坐標方程；
（2）若直線
與直線l相交于點A，與曲線C相交于不同的兩點M，N.求
的最小值.
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