Question

（本小題滿分14分）
已知函數R, .
（1）求函數的單調區間；
（2）若關于的方程為自然對數的底數)只有一個實數根, 求的值.

Answer 1

(1)解: 函數的定義域為.
∴.
① 當, 即時, 得,則.
∴函數在上單調遞增.                ……2分
② 當, 即時, 令 得,
解得.                           
(ⅰ) 若, 則.
∵, ∴,∴函數在上單調遞增.… 4分
(ⅱ)若,則時, ;
時, ,
∴函數在區間上單調遞減,
在區間上單調遞增.…… 6分
綜上所述, 當時, 函數的單調遞增區間為;  
當時, 函數的單調遞減區間為,
單調遞增區間為 …… 8分
(2) 解: 由, 得, 化為.
令, 則.令, 得.
當時, ; 當時, .
∴函數在區間上單調遞增, 在區間上單調遞減.
∴當時, 函數取得最大值, 其值為.      …… 10分
而函數,
當時, 函數取得最小值, 其值為.     …… 12分
∴ 當, 即時, 方程只有一個根.…… 14分

略