Question

（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m．
（1）設(shè)4

2

＜m＜4

6

，求向量

OF

•

FQ

夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），若|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，當(dāng)|

OQ

|取最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）利用三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)用c表示，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出|

OQ

|取得最小值時(shí)的c的值即可．

解答：解：（1）由已知，得

1 2 | OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |•cosθ=m

∴tanθ=

4 6

m

，
∵4

2

＜m＜4

6

，
∴1＜tanθ＜

3

得

π

4

＜θ＜

π

3

．
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)Q(x1，y1)，則

FQ

=(x1-c，y1)．
∵△OFQ的面積

1

2

|

OF

||y1|=2

6

，
∴y1=±

4 6

c

．
又由

OF

•

FQ

=(c，0)(x1-c，y1)=(x1-c)c=(

6

4

-1)c2，
∴x1=

6

4

c．
|

OQ

|=

x 2 1 + y 2 1

=

3c2 8 + 96 c2

≥

12

，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)|

OQ

|最小
此時(shí)Q的坐標(biāo)為(

6

•

6

)或(

6

，-

6

)．
由此可得

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

解得

a2=4 b2=12

故所求的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．