Question

（本題滿分12分）設橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為，左焦點到左準線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設橢圓C上有不同兩點P、Q，且OP⊥OQ，過P、Q的直線為l，求點O到直線l的距離．

Answer 1

解  （1）設橢圓C的方程為（a＞b＞0），

則 ，．

由 ，即 ，得 ．

于是 a² = b² + c² = 21 + 7 = 28，橢圓C的方程為．………………… 5分

（2）若直線l的斜率不存在，即l⊥x軸時，不妨設l與x正半軸交于點M，將x = y代入中，得，則點P（，），Q（，），于是點O到l的距離為．                                                        …………………… 7分

若直線l的斜率存在，設l的方程為y = kx + m（k，m∈R），則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標是方程組的兩個實數解，

消去y，整理，得（3 + 4k²）x² + 8kmx + 4m²－84 = 0，

∴ △ =（8km）²－4（3 + 4k²）（4m²－84）= 12（28k²－m² + 21）＞0，     ①

，．                                                               ②

…………………… 9分

∵ OP⊥OQ，∴ k_OP · k_OQ =－1，即 ，x₁x₂ + y₁y₂ = 0．

于是 x₁x₂ +（kx₁ + m）（kx₂ + m）=（1 + k²）x₁x₂ + km（x₁ + x_­2）+ m² = 0．  ③

將 x₁ + x₂，x₁x₂ 代入上式，得 ，

∴（k² + 1）（4m²－84）－8k²m² + m²（4k² + 3）= 0，

化簡，得 m² = 12（k² + 1）．                                         ④

④代入①滿足，因此原點O到直線l的距離 ．

…………………… 12分