Question

【題目】若動點到兩點的距離之比為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若為橢圓上一點，過點作曲線的切線與橢圓交于另一點，求面積的取值范圍（為坐標原點）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設,由兩點間距離公式并結合條件化簡即可求得動點的軌跡方程.

（2）討論直線的斜率是否存.當斜率不存在時,易得;當斜率存在時,設的方程為,結合點到直線距離公式及切線性質可知到的距離.聯立橢圓方程,由韋達定理可得.結合弦長公式表示出.利用換元法求得的取值范圍,即可求得面積的取值范圍.

（1）設,由條件可知,

即,

所以曲線.

（2）當所在直線斜率不存在時,其方程為,此時,

當所在直線斜率存在時,設其方程為,設,,

到直線的距離,即,所以.

直線與橢圓聯立,

得,

所以

所以

令,

,

因為,

所以,

所以,

所以.