Question

（2013•日照一模）給出下列四個命題：
①若x＞0，且x≠1則lgx+

1

lgx

≥2；
②設x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的否命題是真命題；
③若函數y=f（x）的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，則f（1）+f'（1）=3；
④已知拋物線y²=4px（p＞0）的焦點F與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點重合，點A是兩曲線的交點，AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為

2

+1．
其中所有真命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式成立的條件判斷．②利用逆否命題的等價性去判斷否命題．③利用導數的幾何意義以及導數的運算判斷．④利用拋物線和雙曲線的性質去判斷．

解答：解：①當0＜x＜1時，lgx＜0，不滿足基本不等式的條件，所以①錯誤．
②因為逆命題和否命題互為等價命題，所以原命題的逆命題為“若x²+y²=0，則xy=0”，則逆命題正確，
所以否命題也正確，所以②正確．
③由y=f（x）的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，所以得到f（1）=

1

2

+2=

5

2

，f′(1)=

1

2

，
所以f（1）+f'（1）=3，所以③正確．
④設雙曲線的左焦點為F'，連接AF'
∵F是拋物線y²=4px的焦點，且AF⊥x軸，
∴設A（p，y₀），得y₀²=4p×p，得y₀=2p，A（p，2p），
因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2

2

p
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距2c=|FF'|=2p，實軸2a=|AF'|-|AF|=2p（

2

-1）
由此可得離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

2p

2p( 2 -1)

=

2

+1，所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，綜合性較強涉及的知識點較多，要求熟練掌握相應的知識．